Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=4，DC=3，E是PC的中点．
（I）证明：PA∥平面BDE；
（II）求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．

Answer 1

分析：（I）连接AC交BD于O，连接EO．在△PCA中，根据中位线定理得到OE∥PA．再结合直线与平面平行的判定定理，可证出PA∥平面BDE．
（II）过D作PA的垂线，垂足为H，则△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体为DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体．利用锥体的体积计算公式，结合题中条件不难求出DH的长，从而算出该几何体的体积．

解答：解：（I）连接AC交BD于O，连接EO．
∵ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵E为PA的中点，∴OE∥PA．
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（II）过D作PA的垂线，垂足为H，则
△PAD以以PA为轴旋转所围成的几何体为DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体
∵侧棱PD⊥底面ABCD，AD⊆底面ABCD
∴PD⊥AD，
∵PD=4，DA=DC=3，∴PA=5，DH=

PD•DA

PA

=

4×3

5

=

12

5

所以，该几何体的体积为：V=

1

3

πDH2•PH+

1

3

πDH2•AH
=

1

3

πDH2•PA=

1

3

π×(

12

5

)2×5=

48

5

π．

点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面平行并且求旋转体的体积，着重考查了线面平行的判定、线面垂直的性质和棱锥的体积公式等知识，属于基础题．