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(2012•枣庄一模)已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,椭圆上一点到一个焦点的最大值为3,圆C2x2+y2+8x-2
3
y+7=0
,点A是椭圆上的顶点,点P是椭圆C1上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线AP与圆C2相切,求点P的坐标;
(3)若点M是椭圆C1上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点,点M关于x轴的对称点是点N,直线MP,NP分别交x轴于点E(x1,0),点F(x2,0),探究x1•x2是否为定值.若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.
分析:(1)根据的离心率为
1
2
,椭圆上一点到一个焦点的最大值为3,建立方程组,即可求得椭圆C1的方程;
(2)设直线AP的方程为kx-y+
3
=0,利用直线AP与圆C2相切,求得直线的斜率,从而可得点P的坐标;
(3)设M、P、N的坐标,利用M,P,E三点共线,N,P,F三点共线,结合M,P在椭圆上,即可求得x1•x2是定值.
解答:解:(1)由题意,
a+c=3
c
a
=
1
2
,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C1的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由(1)知A(0,
3
),且直线AP的斜率存在,设其斜率为k,则直线AP的方程为kx-y+
3
=0
圆C2的圆心坐标为(-4,
3
),半径为2
3

∵直线AP与圆C2相切,
|-4k-
3
+
3
|
k2+1
=2
3

k=±
3

k=
3
时,直线方程代入椭圆方程可得5x2+8x=0,∴x=0或x=-
8
5
,∴点P的坐标为(-
8
5
,-
3
3
5

同理可得k=-
3
时,点P的坐标为(
8
5
,-
3
3
5
);
(3)设M(x3,y3),P(x4,y4),则N(x3,-y3),
由M,P,E三点共线,可得
y4-y3
x4-x3
=
y4-0
x4-x1
,∴x1=
x3y4-x4y3
y4-y3

同理由N,P,F三点共线,可得x2=
x3y4+x4y3
y4+y3

∵M,P在椭圆上,∴
x32
4
+
y32
3
=1
x42
4
+
y42
3
=1

∴x1•x2=
x3y4-x4y3
y4-y3
×
x3y4+x4y3
y4+y3
=4
∴x1•x2是定值,定值为4.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,考查三点共线,正确确定椭圆方程是关键.
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1
3
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