Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为 ；
（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，

连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG= PC= ．

又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，

故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．

在Rt△AOG中，tan∠AGO= ，即m= ．

所以，当m= 时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4 ．

（2）解：可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时

因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．

【解析】（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点，连接OG，证明AO⊥平面BDD1B1，说明∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，利用直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4 ．求出m的值．（2）点Q应当是AICI的中点，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，通过证明 D1O1⊥平面ACC1A1，D1O1⊥AP．利用三垂线定理推出结论．
【考点精析】掌握空间角的异面直线所成的角是解答本题的根本，需要知道已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．