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对于正整数n,数列a1,a2,…,ak在满足下列条件下称为关于(1,2,3,…,n)的万能数列:自然数1,2,3,…,n的任意一个排列都能从数列a1,a2,…,ak中去掉一些项后得到.
(1)构造一个有n2项的关于(1,2,3,…,n)的万能数列的例子,并证明;
(2)构造一个有n2-n+1个项的关于(1,2,3,…,n)的万能数列的例子并证明;
(3)判断数列A:是否是关于(1,2,3,…,n)的万能数列,并证明你的结论.
【答案】分析:(1)举出数列,利用有关万能数列的定义加以证明.
(2)举出数列,分该排列中不存在数字bi,bi+1满足 bi<bi+1(1≤i<n-1)和该排列中存在bi,bi+1满足 bi<bi+1(1≤i<n-1两类,利用万能数列的定义加以证明.
(3)利用能数列的定义结合(2)的证明判断出数列为万能数列,再利用万能数列的定义加以证明.
解答:解:(1)     …3分
显然在上述数列中,对于1,2,3,…,n的任意一个排列的第k个位置上的数字,总能在该数列的第k段中找到…4分
(2)…6分
把1,2,3,…,n的一个排列,由左到右构成的数列记作{bk}
①若该排列中不存在数字bi,bi+1满足 bi<bi+1(1≤i<n-1),则b1>b2>…>bn
显然这个排列在上述数列中可以找到…7分
②若该排列中存在bi,bi+1满足 bi<bi+1(1≤i<n-1,则在上述数列中的第i组留下bi,bi+1,其余的都去掉,其余的各组留下排列中相应的数就可以得到这一排列
综上讨论可得该数列为1,2,3,…,n的万能数列.…9分
(3)数列A是万能数列
由(2)的证明可知,数列A中从首相之后到倒数第二项之前的这些项,是一个关于(1,2,3,…,n-1)的万能数列
所以以n为首项或末项的任何一个排列都可以从数列A中划去一些项而得到
设a1,a2,…,ar,ar+1,…,an是关于自然数1,2,3,…,n的一个排列,且ar=n,1<r<n
把数列A中第r个n之前和之后的所有n都划掉,则在含第r个n之前的数为

因为a1,a2,…,ar-1中最小一项的最大值为n-r+1,
所以由(2)证明可得在上面这组数①中划掉一些项可得a1,a2,…,ar-1
在含第r个n之后的数为
由(2)证明可得,若ar+1,ar+2,…,an中最小值为1,2,显然ar+1,ar+2,…,an可以通过划掉一些项得到.
若ar+1,ar+2,…,an中最小值为大于2,此时ar+1,ar+2,…,an中最大的数的最小值为n-r+2,
所以由(2)证明可得在上面一组数②中划掉一些项可得ar+1,ar+2,…,an
所以数列A是关于(1,2,3,…,n)的万能数列.
点评:本题考查对题中的新定义进行理解,是一道新定义题,这种题型是近几年常考的题型.
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