【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2
,求五棱锥D′ABCFE的体积.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:(1)折叠后仍有EF⊥HD,而AC∥EF,可得AC⊥HD′.(2)先定高线:OD′,由勾股定理得OD′⊥OH.由(1)得AC⊥OD′.因此OD′⊥平面ABC.再根据锥体体积公式求体积
试题解析:(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得=
,故AC∥EF.
由此得EF⊥HD,故EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.
(2)由EF∥AC得.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4.
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,
所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.
又由=
得EF=
.
五边形ABCFE的面积S=×6×8-
×
×3=
.
所以五棱锥D′ABCFE的体积V=×
×2
=
.
点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.
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【题目】随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
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【题目】已知椭圆的离心率
,直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,若直线
与椭圆相交于
两点,试判断是否存在实数
,使得以
为直径的圆过定点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试合格的概率分别是,
,
,且面试是否合格互不影响.求:
(1)至少有1人面试合格的概率;
(2)签约人数的分布列和数学期望.
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