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(2013•东城区一模)已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底).
(Ⅰ)当a=0时,求f′(2);
(Ⅱ)若f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(a),将a换元为x,试判断曲线y=g(x)是否能与直线3x-2y+m=0( m为确定的常数)相切,并说明理由.
分析:(Ⅰ)把a=0代入函数解析式,求导后直接把x=2代入导函数解析式计算;
(Ⅱ)求出原函数的导函数,解出导函数的零点为0或2-a,分2-a=0、2-a>0、2-a<0三种情况讨论导函数在不同区间内的符号,判出极小值点,从而得到使f(x)在x=0时取得极小值的a的取值范围;
(Ⅲ)由(Ⅱ)中的条件,能够得到x=2-a是f(x)的极大值点,求出f(2-a),得到g(x),两次求导得到函数
g(x)的导数值小于1,而直线3x-2y+m=0的斜率为
3
2
,说明曲线y=g(x)与直线3x-2y+m=0不可能相切.
解答:解:(Ⅰ)当a=0时,f(x)=x2e-x,f'(x)=2xe-x-x2e-x=xe-x(2-x).
所以f'(2)=0.
(Ⅱ)f'(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x]=-e-x•x[x-(2-a)].
令f'(x)=0,得x=0或x=2-a.
若2-a=0,即a=2时,f'(x)=-x2e-x≤0恒成立,
此时f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减,没有极小值;
当2-a>0,即a<2时,
若x<0,则f'(x)<0.
若0<x<2-a,则f'(x)>0.
所以x=0是函数f(x)的极小值点.
当2-a<0,即a>2时,
若x>0,则f'(x)<0.
若2-a<x<0,则f'(x)>0.
此时x=0是函数f(x)的极大值点.
综上所述,使函数f(x)在x=0时取得极小值的a的取值范围是a<2.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当a<2,且x>2-a时,f'(x)<0,
因此x=2-a是f(x)的极大值点,极大值为f(2-a)=(4-a)ea-2
所以g(x)=(4-x)ex-2(x<2).
g'(x)=-ex-2+ex-2(4-x)=(3-x)ex-2
令h(x)=(3-x)ex-2(x<2).
则h'(x)=(2-x)ex-2>0恒成立,即h(x)在区间(-∞,2)上是增函数.
所以当x<2时,h(x)<h(2)=(3-2)e2-2=1,即恒有g'(x)<1.
又直线3x-2y+m=0的斜率为
3
2

所以曲线y=g(x)不能与直线3x-2y+m=0相切.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了函数模型的选择,考查了函数存在极值点的条件,需要注意的是,函数在极值点处的导数一定等于0,但导数为0的点不一定是极值点,此题有一定难度.
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(2013•东城区一模)设A是由n个有序实数构成的一个数组,记作:A=(a1,a2,…,ai,…,an).其中ai(i=1,2,…,n)称为数组A的“元”,S称为A的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”,则称A=(a1,a2,…,an)为B=(b1,b2,…bn)的子数组.定义两个数组A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)的关系数为C(A,B)=a1b1+a2b2+…+anbn
(Ⅰ)若A=(-
1
2
1
2
)
,B=(-1,1,2,3),设S是B的含有两个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值;
(Ⅱ)若A=(
3
3
3
3
3
3
)
,B=(0,a,b,c),且a2+b2+c2=1,S为B的含有三个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值.

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1
2
,则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于
1
4
,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于
1
4
且小于
1
2
,则成绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为(  )

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(2013•东城区一模)函数f(x)=sin(x-
π
3
)
的图象为C,有如下结论:
①图象C关于直线x=
6
对称;
②图象C关于点(
3
,0)
对称;
③函数f(x)在区间[
π
3
6
]
内是增函数,
其中正确的结论序号是
①②③
①②③
.(写出所有正确结论的序号)

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(2013•东城区一模)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},那么集合?UA为(  )

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(2013•东城区一模)数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状,其中每一行比上一行增加两项,若an=an(a≠0),则位于第10行的第8列的项等于
a89
a89
,a2013在图中位于
第45行的第77列
第45行的第77列
.(填第几行的第几列)

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