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已知函数f(x)=lnx,g(x)=
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x2+a,(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)=的图象都相切,且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)若h(x)=f(x+1)-g′(x)(注:g′(x)是g(x)的导函数),求h(x)的单调递增区间;
(3)当k∈R时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.
分析:(1)求出f(x)的导函数,由切线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1,把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线l的斜率,把x=1代入f(x)中求出的函数值即为切点的纵坐标,进而得到切点的坐标,根据切点坐标和斜率写出直线l的方程,又直线l与g(x)的图象相切,联立两解析式,消去y得到关于x的一元二次方程,得到此方程的根的判别式等于0,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值;
(2)求出g(x)的导函数,求出f(x+1),代入h(x)=f(x+1)-g′(x)中确定出h(x),求出h(x)的导函数,令导函数大于0,求出x的取值范围即为函数h(x)的单调增区间;
(3)把(1)中求出的a的值代入确定出g(x),求出f(1+x2),设y1等于方程的左边,y2等于方程的右边,求出y1的导函数,令导函数等于0求出x的值,利用x的值分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的极大值和极小值,根据求出的极大值和极小值分区间即可得到方程解的个数.
解答:解:(1)由f′(x)=
1
x
,把x=1代入得:f′(1)=1,
故直线l的斜率为1,切点坐标为(1,f(1)),即(1,0),
所以直线l的方程为:y=x-1,
∴直线l与y=g(x)的图象相切等价于方程组
y=x-1
y=
1
2
x2+a
只有一解,
即方程
1
2
x2-x+a+1=0有两个相等实根,
∴△=1-4×
1
2
(a+1)=0,解得a=-
1
2

(2)由g′(x)=x,f(x+1)=ln(x+1),
得到:h(x)=ln(x+1)-x(x>-1),由h′(x)=
1
x+1
-1=-
x
x+1

令h′(x)>0,即
x
x+1
<0,解得:-1<x<0,
当x∈(-1,0)时,h(x)是增函数.即h(x)的单调递增区间为(-1,0);
(3)由(1)知g(x)=
1
2
x2-
1
2
,令y1=f(1+x2)-g(x)=ln(1+x2)-
1
2
x2+
1
2
,y2=k,
由y′1=
2x
1+x2
-x=
x(1-x)(x+1)
1+x2
,令y′1=0,解得:x=0,-1,1
当x变化时,y′1和y1的变化关系如下表:
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据此可知:当k=
1
2
时,方程有三解;
当k∈(
1
2
,ln2)时,方程有四解;
当k=ln2或k∈(-∞,
1
2
)时,方程有两解;
当k∈(ln2,+∞)时,方程无解.
点评:此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负得到函数的单调区间,会利用导数研究函数的极值,是一道中档题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
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(1)求函数y=f(x)的最小值;
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2(x-1)
x+1
恒成立;
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x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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1
f(n)
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已知函数f(x)=xlnx
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已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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