Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

3

，右焦点F也是抛物线y²=4x的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l与C相交于A、B两点，若

AF

=2

FB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的方程与焦点坐标的关系求出椭圆的右焦点F，得到椭圆的参数c的值，利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，根据椭圆中的三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程，求出椭圆方程．
（2）先检验直线的斜率非零，设出两个交点A，B的坐标，由已知的向量关系得到两个交点坐标间的关系，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，据韦达定理得到两个交点坐标的关系，联立几个关于坐标的等式，求出m的值即得到直线的方程．

解答：解：（1）根据F（1，0），即c=1，
据

c

a

=

3

3

得a=

3

，
故b=

2

，
所以所求的椭圆方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）当直线l的斜率为0时，检验知

AF

≠2

FB

．
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
根据

AF

=2

FB

得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）得y₁=-2y₂．
设直线l：x=my+1，代入椭圆方程得（2m²+3）y²+4my-4=0，
故y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1•y2=-

4

2m2+3

，
得y1= -

8m

2m2+3

 ，y2= 

4m

2m2+3

，
代入y1•y2=-

4

2m2+3

得
( -

8m

2m2+3

)(

4m

2m2+3

)= -

4

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

 =1，
解得m=±

2

2

，
故直线l的方程是x=±

2

2

y+1．

点评：求圆锥曲线的方程时，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般采用的方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立得到关于某个未知数的二次方程，利用韦达定理来找突破口．