Question

设函数f(x)=x⁴+bx²+cx+d，当x=t₁时，f(x)有极小值，
(1)若b=-6时，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若存在实数c，使函数f(x)在闭区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围； (3)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f′(t₂)=0，证明：函数g(x)=f(x)-x²+t₁x在区间(t₁，t₂)内最多有一个零点．

Answer 1

解：(1)因为，
所以h(x)=f′(x)=x³-12x+c，
由题设，方程h(x)=0有三个互异的实根，
考察函数，则由h′(x)=0，得x=±2，
，
所以故-16＜c＜16．
(2)存在c∈(-16，16)，使f′(x)≥0，即，
所以，即在区间[m-2，m+2]上恒成立，
所以[m-2，m+2]是不等式(*)解集的子集，
所以或m-2＞2，即-2＜m＜0，或m＞4。
(3)由题设，可得存在α，β∈R，使，
且恒成立，
又f′(t₂)=0，且在x=t₂两侧同号，所以，
另一方面，，
因为，且，
所以，
所以，
所以，
而x-t₁＞0，所以g′(x)＜0，
所以g(x)在(t₁，t₂)内单调递减；
从而g(x)在(t₁，t₂)内最多有一个零点．