Question

15．下列命题：
①在△ABC中，“A＞30°”是“$sinA＞\frac{1}{2}$”的充分不必要条件；
②已知$\overrightarrow{AB}$=（3，4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1），则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影为-2；
③已知p：?x∈R，cosx=1，q：?x∈R，x²-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题；
④“若x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题；
⑤已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2（ω＞0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于x=$\frac{π}{3}$对称．
其中真命题的序号为③④．

Answer 1

分析 举例说明①是假命题；求出给出的两个向量的数量积，再求出向量$\overrightarrow{CD}$的模，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影可求；由复合命题的真假判断判断③；直接写出命题的否命题判断④；命题⑤首先对复合函数求导，根据导函数的最大值是3求出ω的值，的导函数解析式后把x=$\frac{π}{3}$代入函数解析式验证，函数能取最大值则是对称轴，否则不是．

解答 解：①在△ABC中，若A=160°＞30°则$sinA＜\frac{1}{2}$，若$sinA＞\frac{1}{2}$，则30°＜A＜150°，∴“A＞30°”是“$sinA＞\frac{1}{2}$”的必要不充分条件，①是假命题；
②$\overrightarrow{AB}$=（3，4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1），则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{3×（-2）+4×（-1）}{\sqrt{（-2）^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{-10}{\sqrt{5}}=-2\sqrt{5}$，②是假命题；
③p：?x∈R，cosx=1，为真命题；q：?x∈R，x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，为真命题．则“p∧￢q”为假命题，③是真命题；
④“若x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题为：“若x²+x-6＜0，则x≤2”，此命题是真命题；
⑤由f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2，则f′（x）=ω•cos（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2（ω＞0）的导函数的最大值为3，∴ω=3．
则f（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$）-2，而f（$\frac{π}{3}$）=sin（3×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）-2=-$\frac{5}{2}$＞-3，∴函数f（x）的图象不关于x=$\frac{π}{3}$对称，⑤是假命题．
故答案为：③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了向量投影的求法，训练了利用导数求函数的最值，考查三角函数的图象和性质，是中档题．