Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数y=f（f（x）-2a）有两个零点，则实数a的取值范围是a≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$+3）或a$＜-\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 画出函数图象，令f（f（x）-2a）=0⇒f（x）-2a=-2或f（x）-2a=1，⇒f（x）=2a-2或f（x）=2a+1，由函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的值域为R，可得f（x）=2a-2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f（f（x）-2a）有两个零点，必满足f（x）=2a-2和f（x）=2a+1各有一个零点．

解答 解：函数y=$\frac{lnx}{x}$的定义域是（0，+∞），令y′＞0，
解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，
故函数y=$\frac{lnx}{x}$在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
故x=e时，函数y=$\frac{lnx}{x}$取得最大值，最大值是$\frac{1}{e}$，函数y=x²-4（ x≤0）是抛物线的一部分．
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的图象如下：
令y=f（f（x）-2a）=0⇒f（x）-2a=-2或f（x）-2a=1，⇒f（x）=2a-2或f（x）=2a+1，
∵函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的值域为R，
∴f（x）=2a-2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，函数y=f（f（x）-2a）有两个零点，
则必满足f（x）=2a-2和f（x）=2a+1各有一个零点．
∵2a+1＞2a-2，
①当2a-2＜-4且2a+1＞$\frac{1}{e}$时，⇒a∈∅，
②当2a+1＞2a-3≥$\frac{1}{e}$时，⇒a≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$+3）
③当2a+1＜-4时，⇒a＜-$\frac{5}{2}$
故答案为：a≥$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{e}$+3）或a$＜-\frac{5}{2}$

点评 本题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．