Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁=BC．
（1）求证：平面DA₁C₁∥平面B₁AC；
（2）求证：B₁C⊥BD₁．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）充分利用已知长方体的性质，结合面面平行的判定定理，只要判断DA₁∥平面B₁AC和A₁C₁∥平面B₁AC即可；
（2）只要证明B₁C⊥平面BC₁D₁，利用线面垂直的性质得到所证．

解答： 证明：（1）∵四边形A₁B₁CD为平行四边形，∴DA₁∥CB₁…（1分）
∵CB₁?平面B₁AC，DA₁?平面B₁AC，∴DA₁∥平面B₁AC…（2分）
∵四边形A₁C₁CA为平行四边形，∴A₁C₁∥CA…（3分）
∵CA?平面B₁AC，A₁C₁?平面B₁AC∴A₁C₁∥平面B₁AC…（4分）
∵DA₁，A₁C₁是平面DA₁C₁内的两条相交直线 …（5分）
∴平面DA₁C₁∥平面B₁AC…（6分）
（2）连接BC₁，∵BB₁=BC，∴在正方形BCC₁B₁中，B₁C⊥BC₁…（7分）
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁∴B₁C⊥D₁C₁…（9分）
∵BC₁，D₁C₁是平面BC₁D₁内的两条相交直线
∴B₁C⊥平面BC₁D₁…（11分）
∵BD₁?平面BC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁…（12分）

点评：本题考查了长方体中面面平行的判定和线线垂直的判定，关键是准确利用长方体的性质结合面面平行的判定定理解答，属于基础题．