Question

如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2

3

，点C是劣弧ACB上任一点，（点C不与A、B重合），求∠ACB．

Answer 1

分析：首先做出辅助线，连接B、A与圆心再在优弧上找一点D，做出角ADB，根据直角三角形中三角函数的定义和特殊角的三角函数，写出锐角的值，根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，得到角D，根据圆内接四边形写出要求的结果．

解答：解：连接OA、OB，过O作OE⊥AB，E为垂足，则AE=BE．
在Rt△AOE中，OA=2，AE=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，

∴sin∠AOE=

AE

OA

=

3

2

，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，在优弧

AB

上任取一点D（不与A、B重合），
∴∠ADB=

1

2

∠AOB=60°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°．

点评：本题考查圆内接四边形的性质，考查同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，考查直角三角形的性质，考查三角函数的定义，是一个比较简单的综合题目．