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    已知椭圆C：
    （1）已知椭圆的长轴是焦距的2倍，右焦点坐标为F（1，0），写出椭圆C的方程；
    （2）设K是（1）中所的椭圆上的动点，点O是坐标原点，求线段KO的中点B的轨迹方程；
    （3）设点P是（1）中椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．
    【答案】分析：（1）2a=2（2c），c=1，a2=4b2=3，由此能求出椭圆C的方程．
    （2）设KO的中点为B（x，y），则点K（2x，2y），把K的坐标代入椭圆中，得．由此能求出线段KF1的中点B的轨迹方程．
    （3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）．M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，由此能够证明kPM•KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．
    解答：解：（1）2a=2（2c），（1分）
    c=1，（2分）
    a2=4b2=3，（3分）
    椭圆C的方程为：．（4分）
    （2）设KO的中点为B（x，y）则点K（2x，2y），（6分）
    把K的坐标代入椭圆中，
    得（8分）
    线段KF1的中点B的轨迹方程为．（10分）
    （3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
    设M（x，y）N（-x，-y），p（x，y）（11分）
    M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
    得，（12分）
    ，（13分）
    kPM•KPN==．（15分）
    故：kPM•KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关．（16分）
    点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)    的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于
    		3
    2
    (a-c)    ．
    （1）求椭圆的离心率e的取值范围；
    （2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		6
    3
    ，且倾斜角为60°的直线l过点(0，-2
    		3
    )    和椭圆C的右焦点F．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）若已知D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且
    DM
    =λ
    DN
    ，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
    （1）已知椭圆C1：
    x2
    4
    +y2=1    和C2：
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1    判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
    （2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
    （3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•泉州模拟）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆Γ：
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线y=
    1
    4
    x2    的焦点．
    （Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•通州区一模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    1
    2
    ，右焦点为F（1，0）．
    （I）求椭圆C的方程；
    （II）求经过点A（4，0）且与椭圆C相切的直线方程；
    （III）设P为椭圆C上一动点，以PF为直径的动圆内切于一个定圆E．求定圆E的方程．

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