Question

数列{a_n}中，S_n是前n项的和，且S_n=2a_n-3n
（1）求a_n
（2）{a_n}中是否存在三项，使它们构成等差数列？若存在，求出这三项，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据S_n=2a_n-3n，可以得到a_n=2a_n-1+3，构造数列{a_n+3}为等比数列，利用等比数列的通项公式，求得a_n+3，即可求得a_n；
（2）假设存在，写出三项，又知三项成等差数列，用等差中项验证，推出矛盾，得到结论不存在三项构成等差数列．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-3n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-3（n-1），
∴S_n-S_n-1=（2a_n-3n）-[2a_n-1-3（n-1）]，即a_n=2a_n-1+3，
∴a_n+3=2（a_n-1+3），
∴

an+3

an-1+3

=2（n≥2），
又a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
∴数列{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-3；
（2）设存在s，p，r∈N^*，且s＜p＜r，使得a_s，a_p，a_r成等差数列，
∴2a_p=a_s+a_r，
∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3，
∴2^p+1=2^s+2^r，2^p-s+1=1+2^r-s，2^p-s+1，2^r-s为偶数，
又∵1+2^r-s为奇数，
∴2^p+1=2^s+2^r不成立，
∴不存在满足条件的三项，
故{a_n}中不存在三项，使它们构成等差数列．

点评：本题考查了等差数列的应用，以及构造新数列求通项公式．求数列通项公式常见的方法有：利用等差等比数列的通项公式，利用S_n与a_n的关系，迭加法，迭乘法，构造新数列．根据具体的条件判断该选用什么方法求解．属于中档题．