Question

已知f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，
（1）求f（1）f（2）f（3）的值：
（2）是否存在不小于2的正整数m，使得对于任意的正整数n，f（n）都能被m整除？如果存在，求出最大的m值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过表达式直接求出f（1），f（2），f（3）的值．
（2）通过（1）猜想出m，然后利用数学归纳法的证明步骤，n=1时验证成立，假设n=k时成立，证明n=k+1时猜想也成立即可．
解答：解：（1）由题意f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9，
所以f（1）=（2×1+7）×3¹+9=36；
f（2）=（2×2+7）×3²+9=3×36=108；
f（3）=（2×3+7）×3³+9=10×36=360；
（2）由（1）可以猜想最大m=36，
下面用数学归纳法证明，
①当n=1时，f（1）=36，显然能被36整除；
②假设n=k时f（k）能被36整除，即（2k+7）•3^k+9能被36整除，
那么，当n=k+1时，
[2（k+1）+7]•3^k+1+9
=[（2k+7）+2]•3^k•3+9
=3[（2k+7）•3^k+9]+18（3^k+1-1）．
由假设可知（2k+7）•3^k+9，能被36整除，
3^k+1-1是偶数，∴18（3^k+1-1）．也能被36整除，
由①②可知对任意n∈N^*都成立．
所以最大的m值为36．
点评：本题是中档题，考查数列的应用，数学归纳法证明题的步骤与方法，考查逻辑推理能力．