已知三点O.曲线C上任意一点M(x.y)满足||=(1)求曲线C的方程,(2)点Q(x.y)(-2＜x＜2)是曲线C上动点.曲线C在点Q处的切线为l.点P的坐标是.l与PA.PB分别交于点D.E.求△QAB与△PDE的面积之比．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x，y）（-2＜x＜2）是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．

【答案】分析：（1）先求出

、

的坐标，由此求得|

|和

的值，由题意可得

=4-2y，化简可得所求．
（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x，y）（-2＜x＜2）处的切线方程，求出F点的坐标，D、E两点的横坐标，可得S_△PDE和S_△QAB的值，从而求得△QAB与△PDE的面积之比．
解答：解：（1）由

=（-2-x，1-y），

=（2-x，1-y）可得

=（-2x，2-2y），
∴|

，

=（-2-x，1-y）•（0，2）+2=4-2y．
由题意可得

=4-2y，化简可得 x²+2y-3=0．
（2）直线PA，PB的方程分别为 y=-x-1、y=x-1，曲线C在点Q（x，y）（-2＜x＜2）处的切线方程为y=

，
且与y轴的交点F（0，-

）．
由

求得x_D=

，由

求得x_E=

．
故x_E-x_D=2，故|FP|=1-

．
故S_△PDE=

|PF|•|x_E-x_D|=

（1-

）•2=

，
而S_△QAB=

×4×（1-

）=

，
∴

=2，即△QAB与△PDE的面积之比等于2．
点评：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、E两点的横坐标，
是解题的关键，属于中档题．

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已知三点O（0，0），A（1，0），P（x，y）且设x≥1，y≠0．
（1）如果选取一点Q，使四边形OAPQ成为一平行四边形，则Q的坐标是

（2）如果还要求AP的中垂线通过Q点，则x，y的关系是

．
（3）再进一步要求四边形OAPQ是菱形，则x=

时．

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在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：|

|=4-

•(

)．
（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN．试探究k_PM•k_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，|

|取得最小值，求实数m的取值范围．

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（2012•江西）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

•（

）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

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（2012•江西）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|

•(

)+2
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．

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