Question

10．某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分）分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；
（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；
（3）把从分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自C组的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出第四小组分数在[70，80）内的频率，由此能求出第四个小矩形的高．
（2）由题意求出60分以上的各组频率和，从而得到这次考试的及格率，由频率分布直方图能求出本次考试中的平均分．
（3）由已知可得C组共有学生人，从B，C两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为B₁，B₂，C₁，C₂，C₃，利用列举法能求出这两个学生都来自C组的概率．

解答 解：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：
1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30，
∴第四个小矩形的高为：$\frac{0.30}{10}$=0.03 …（4分）
（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，
故这次考试的及格率约为75%，…（6分）
由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
得本次考试中的平均分约为71：…（8分）
（3）由已知可得C组共有学生60×10×0.005=3人，
则从B，C两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为B₁，B₂，C₁，C₂，C₃，
共有（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₁，C₂），（B₁，C₃），（B₂，C₁），
（B₂，C₂），（B₂，C₃），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₂，C₃）等10种不同情况，
其中这两个学生都来自C组有3种不同情况，
∴这两个学生都来自C组的概率$P=\frac{3}{10}$．         …（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．