Question

 已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145。

（Ⅰ）求数列{b_n}的能项b_n；

（Ⅱ）设数列{a_n}的通项a_n=loga(1+1/b_n)（其中a>0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项的和。试比较S_n与1/3logab_n+1的大小，并证明你的结论。

Answer 1

（Ⅰ）设数列的公差为，由题意得

 

解得  ∴ 

（Ⅱ）由，知

=

因此要比较与的大小，可先比较与的大小。

取有， 取有， 由此推测

 

若①式成立，则由对数函数性质可断定： S_n>1/2lgb_n+1。

下面用数学归纳法证明①式。

(i)当n=1时已验证①式成立。

(ii)假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即

 

那么，当n=k+1时，

∴ /2k+1(2k+2)> 。

因而(1+1)(1+1/3)…(1+1/2k-1)(1+1/2k+1) >

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由(i)，(ii)知①式对任何正整数n都成立。

由此证得：S_n=1/2lgb_n+1。