Question

已知向量

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

c

=(x3，y3)，定义运算“*”的意义为

a

*

b

=(x1y2，x2y1)．则下列命题：
①若

a

=(1，2)，

b

=(3，4)，则①

a

*

b

=(6，4)；②

a

*

b

=

b

*

a

；③(

a

*

b

)*

c

=

a

 *(

b

*

c

)；④(

a

+

b

)*

c

=(

a

*

c

)+(

b

*

c

)中，正确的是

④

．

Answer 1

分析：利用已知中新定义，检验各个选项中的等式是否成立，从而得出结论．

解答：解：利用已知中新定义，由向量

a

=(1，2)，

b

=(3，4)，可得

a

*

b

=(x1y2，x2y1)=（4，6），故①错误．
∵

a

*

b

=(x1y2，x2y1)，

b

*

a

=(x2y1，x1y2)，故②错误．
∵(

a

*

b

)*

c

=（x₁y₂，x₂y₁）*（x₃，y₃）=（x₁y₂y₃，x₂y₁x₃），

a

 *(

b

*

c

)=（x₁，y₁）*（x₂y₃，x₃y₂）=（x₁x₃y₂，y₁x₂y₃），故③错误．
∵(

a

+

b

)*

c

=（x₁+x₂，y₁+y₂）*（x₃，y₃）=（x₁ y₃+x₂ y₃ ，y₁x₃+y₂x₃），
而 (

a

*

c

)+(

b

*

c

)=（x₁y₃，x₃y₁）+（x₂y₃，x₃y₂）=（x₁ y₃+x₂ y₃ ，y₁x₃+y₂x₃ ），故④正确．
故答案为 ④

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，新定义运算“*”的意义，属于中档题．