Question

9．如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为$\frac{3}{2}$？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明：AB⊥平面PAD，根据四边形ABCD为矩形，AB∥CD，得到CD⊥平面PAD，即可证明平面PCD⊥平面PAD；
（2）利用等体积方法，即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形为矩形，∴AB⊥AD
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD
∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD
∴CD⊥平面PAD
又因为CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…（6分）
（2）解：设AB=x，则CD=x，PA=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，PC=$\sqrt{13}$，PD=$\sqrt{13-{x}^{2}}$
∴V_B-PCD=V_P-BCD
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×CD×PD×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×BC×CD×PA
即$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{13-{x}^{2}}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3x•$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴$\sqrt{13-{x}^{2}}$=2$\sqrt{4-{x}^{2}}$，解得：x=1
即当AB的长为1时，点B到平面PCD的距离为$\frac{3}{2}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查体积公式的运用，属于中档题．