Question

2．已知向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$满足$\overrightarrow{|{OA}|}=\overrightarrow{|{OB}|}=1，\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}（{λ，μ∈R}）$，若M为AB的中点，并且$|{\overrightarrow{MC}}|=1$，则λ+μ的最大值是（　　）

• A． $1-\sqrt{3}$
• B． $1+\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $1+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$满足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，不妨取A（1，0），B（0，1）．利用中点坐标公式可得M$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．由$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$=（λ，μ）．及其$|{\overrightarrow{MC}}|=1$，可得$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}$=1，换元$λ=\frac{1}{2}+cosθ$，μ=$\frac{1}{2}$+sinθ，θ∈[0，2π）．即可得出．

解答 解：如图所示，
∵向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$满足$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=1，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
不妨取A（1，0），B（0，1）．
∵M为AB的中点，
∴M$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
∵$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ）．
∵$|{\overrightarrow{MC}}|=1$，
∴$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}$=1，
设$λ=\frac{1}{2}+cosθ$，μ=$\frac{1}{2}$+sinθ，θ∈[0，2π）．
则λ+μ=1+sinθ+cosθ=1+$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$$≤1+\sqrt{2}$，当$sin（θ+\frac{π}{4}）$=1时取等号．
∴λ+μ的最大值是1+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的运算及其模的计算公式、圆的标准方程、三角函数换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．