Question

【题目】在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，E、F，分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，

所以，在△PAC中，EF∥PA

又PA平面PAD，EF平面PAD

所以EF∥平面PAD

（2）解：取AD的中点O，连接OP，OF，

因为PA=PD，所以PO⊥AD，

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，

以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O﹣xyz，

不妨设AD=2

则有P（0，0，1），D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），假设在AB上存在点G（1，a，0），0＜a＜2，

则 =（﹣1，2，﹣1）， =（﹣1，0，﹣1）， =（2，a，0）

因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，

所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，

由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA，

所以PA⊥PDC，即平面PDC的一个法向量为 =（1，0，﹣1）

设平面PDG的法向量为 =（x，y，z），则 ，亦即 ，可取 =（a，﹣2，﹣a）

由二面角C﹣PD﹣G的余弦值为 ，可得a=1，

所以线段AB上存在点G，且G为AB的中点，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为

【解析】（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，证明：EF∥PA，即可证明EF∥平面PAD；（2）以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O﹣xyz，利用向量方法，即可求解．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．