Question

18．已知f（x）=x²+px+q和$g（x）=x+\frac{4}{x}$是定义在$A=\left\{{x|1≤x≤\frac{5}{2}}\right\}$上的函数，对任意的x∈A，存在常数x₀∈A，使f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀）且f（x₀）=g（x₀），则f（x）在A上的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{17}{4}$
• C． 5
• D． $\frac{41}{10}$

Answer 1

分析 由已知很容易得到函数g（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[1，$\frac{5}{2}$]上的最小值为g（2）=4，于是函数f（x）=x²+px+q也在x=2处取到最小值f（2），下面只需代入数值即可求解．

解答 解：由已知函数f（x）=x²+px+q和g（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[1，$\frac{5}{2}$]上都有最小值f（x₀），g（x₀），
又因为g（x）=x+$\frac{4}{x}$在区间[1，$\frac{5}{2}$]上的最小值为g（2）=4，
f（x）_min=f（2）=g（2）=4，
所以得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{p}{2}=2}\\{4+2p+q=4}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{p=-4}\\{q=8}\end{array}\right.$，
所以得：f（x）=x²-4x+8≤f（1）=5．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性，利用单调性求解函数在区间上最值的方法，考查二次函数，对勾函数等函数型的性质；考查函数与方程，转化与化归等数学思想方法．