Question

5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁，E，F分别为AC，CC₁的中点，则直线EF与平面A₁AB所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 取AB，B₁B的中点为M，D，连接DF，DM，ME，作EN⊥DF，垂足为N，则DM为EF在平面A₁AB上的射影，EN∥MD，可得∠NEF为直线EF与平面A₁AB所成角，即可得出结论．

解答 解：取AB，B₁B的中点为M，D，连接DF，DM，ME，作EN⊥DF，垂足为N，则DM为EF在平面A₁AB上的射影，EN∥MD，
∴∠NEF为直线EF与平面A₁AB所成角，
设AB=2a，则EN=$\sqrt{2}$a，EF=$\sqrt{3}$a，
∴直线EF与平面A₁AB所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线EF与平面A₁AB所成角的余弦值，考查学生的计算能力，正确确定直线EF与平面A₁AB所成角是关键．