Question

13．已知函数f（x）=x（e^x-e^-x）-（2x+1）（e^2x+1-e^-2x-1），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为-1＜x＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=x（e^x-e^-x），问题转化为g（x）＞g（2x+1），由函数的性质可得|x|＞|2x+1|，平方化为一元二次不等式可得．

解答 解：构造函数g（x）=x（e^x-e^-x），
则g（x）=x（e^x-e^-x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，
则由f（x）＞0可得x（e^x-e^-x）＞（2x+1）（e^2x+1-e^-2x-1），
即g（x）＞g（2x+1），
∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x+1|），
即|x|＞|2x+1|，即x²＞（2x+1）²，
∴3x²+4x+1＜0，解得-1＜x＜-$\frac{1}{3}$
故答案为：-1＜x＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查指对不等式的解法，涉及函数的单调性和奇偶性，属基础题．