Question

（2007•温州一模）已知f(x)=

3

+2sinxcosx-2

3

sin2x，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用降幂公式和辅助角公式，将f（x）进行整理，得f（x）=2sin(2x+

π

3

)，然后根据正弦函数周期的公式可得函数f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性，将2x+

π

3

当成一个整体，解不等式

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得到的x的解集，写成区间就是函数f（x）的单调减区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

+2sinxcosx-2

3

sin2x=

3

+sin2x-

3

(1-cos2x)
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（5分）
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π    …（7分）
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

 +2kπ，k∈Z      …．（10分）
得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

 +kπ，k∈Z
则函数f（x）的单调减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z…（14分）

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，着重考查了辅助角公式，三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．