【题目】如图,已知矩形
所在的平面,
分别为
的中点,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求与面
所成角大小的正弦值;
(3)求证: 面
.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】试题分析:(1)取的中点
,利用平几知识证四边形
是平行四边形.即得
.再根据线面平行判定定理得
平面
;(2)由
矩形
得
即为
与面
所成角,再解直角三角形得
与面
所成角的正弦值(3)由等腰三角形性质得
,再根据
矩形
得
而
,所以根据线面垂直判定定理得
平面
,即得
,因此
平面
.最后根据
,得
面
.
试题解析:解:
记中点为
,易得
平行且等于
,
(1)证明:如图,取的中点
,连结
,
则有,且
,
∴四边形是平行四边形.
∴.
∵平面
,
平面
,
∴平面
;
(2)易得即为
与面
所成角,
,所以,
与面
所成角大小的正弦值为
;
(3)证明:∵平面
平面
平面
.
∴,
∵,
∴平面
,
又∵平面
,∴
,
∵,
为
中点,
∴,又∵
,
∴平面
.
∵,
∴平面
.
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【题目】甲、乙两人练习罚球,每人练习6组,每组罚球20个,命中个数茎叶图如下:
(1)求甲命中个数的中位数和乙命中个数的众数;
(2)通过计算,比较甲乙两人的罚球水平.
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【题目】已知圆,直线
,
.
(1)求证:对,直线
与圆
总有两个不同的交点
;
(2)求弦的中点
的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;
(3)是否存在实数,使得原
上有四点到直线
的距离为
?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数 (
为自然对数的底数,
),
(
,
),
⑴若,
.求
在
上的最大值
的表达式;
⑵若时,方程
在
上恰有两个相异实根,求实根
的取值范围;
⑶若,
,求使
得图像恒在
图像上方的最大正整数
.
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【题目】已知矩形的对角线交于点
,边
所在直线的方程为
,点
在边
所在的直线上.
(1)求矩形的外接圆的方程;
(2)已知直线(
),求证:直线
与矩形
的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线
的方程.
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【题目】已知椭圆(
﹥
﹥0)的离心率为
,短轴一个端点到右焦点的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,坐标原点
到直线
的距离为
,求
面积的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,PA=PB,O为AB的中点,OD⊥PC.
(1)求证:OC⊥PD;
(2)若PD与平面PAB所成的角为30°,求二面角DPCB的余弦值.
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为
)进行统计.按照
的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含
分)的同学中随机抽取
名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的
名同学中得分在
的学生人数恰有一人的概率.
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