Question

14．为调查当前干部的作风情况，某市检察机关从该市干部名单库中随机抽取100名干部，通过问卷调查，实际考核等方式，对每个干部依次考核成绩，分A，B，C，D，E五个等级进行测评，最后对数据做如下统计：

成绩	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）	合计
等级	E	D	C	B	A
频数	2	24	36	30	8	100
频率	0.02	0.24	0.36	0.3	0.08	1

（1）根据上级要求，对考核测评为E级的干部，将从干部名单库中清除；对考核测评为D级的干部，要求进行教育整改；而对考核测评为A级的干部，将授予“人民楷模”的称号，现从该市干部中，随机抽取3人，求这三人来自不同的考核测评等级，且都不是被清除人的概率（精确到小数点后三位）；
（2）若从该市干部中，随机抽取5人，求抽取的是“人民楷模”的人数ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）现从该市干部中，随机抽取3人，先求出基本事件总数，再求出这三人来自不同的考核测评等级，且都不是被清除人包含的基本事件个数，由此能求出这三人来自不同的考核测评等级，且都不是被清除人的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的是“人民楷模”的人数ξ的数学期望．

解答 解：（1）现从该市干部中，随机抽取3人，基本事件总数n=${C}_{100}^{3}$=161700，
这三人来自不同的考核测评等级，且都不是被清除人包含的基本事件个数m=${C}_{24}^{1}{C}_{36}^{1}{C}_{30}^{1}+{C}_{36}^{1}{C}_{30}^{1}{C}_{8}^{1}$+${C}_{24}^{1}{C}_{36}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{24}^{1}{C}_{30}^{1}{C}_{8}^{1}$=47232，
∴这三人来自不同的考核测评等级，且都不是被清除人的概率：
p=$\frac{m}{n}=\frac{47232}{161700}$≈0.292．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{92}^{5}}{{C}_{100}^{5}}$=0.653190967，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{92}^{4}}{{C}_{100}^{5}}$=0.296904985，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{92}^{3}}{{C}_{100}^{5}}$=0.093408309，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{C}_{92}^{2}}{{C}_{100}^{5}}$=0.00311361033，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}{C}_{92}^{1}}{{C}_{100}^{5}}$=0.0000855874533，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{8}^{5}}{{C}_{100}^{5}}$=0.0000007438151768，
∴Eξ=0.653190967×0+0.296904985×1+0.093408309×2+0.00311361033×3+0.0000855874533×4+0.0000007438151768×5=0.4934085．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．