Question

如图,正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC₁上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是　　　　(写出所有正确命题的编号).

①当0<CQ<时,S为四边形.

②当CQ=时,S为等腰梯形.

③当CQ=时,S与C₁D₁的交点R满足C₁R=.

④当<CQ<1时,S为六边形.

⑤当CQ=1时,S的面积为.

Answer 1

①②③⑤【解析】①当0<CQ<时,截面如图1所示,截面是四边形APQM,故①正确.

②当CQ=时,截面如图2所示,易知PQ∥AD₁且PQ=AD₁,S是等腰梯形,故②正确.

③当CQ=时,如图3.

作BF∥PQ交CC₁的延长线于点F,则C₁F=.作AE∥BF,交DD₁的延长线于点E,D₁E=,AE∥PQ,连接EQ交C₁D₁于点R,由于Rt△RC₁Q∽Rt△RD₁E,所以C₁Q∶D₁E=C₁R∶RD₁=1∶2,所以C₁R=.

④当<CQ<1时,如图3,连接RM(点M为AE与A₁D₁的交点),显然S为五边形APQRM.

⑤当CQ=1时,如图4.

同③可作AE∥PQ交DD₁的延长线于点E,交A₁D₁于点M,显然点M为A₁D₁的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MP×AQ=××=.