Question

10．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）+1．
（1）若f（x）=3，求x的值；
（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质，代入求值即可，
（2）利用函数的单调性和对数函数的定义域，得到关于x的不等式组，解得即可．

解答 解：∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）+1，f（x）=3，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）+1=3，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=2=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$（\frac{1}{2}）^{2}$，
∴x-1=$\frac{1}{4}$，
解得x=$\frac{5}{4}$；
（2）∵f（x）≥1，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）+1≥1，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）≥0=log${\;}_{\frac{1}{2}}$1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-1≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜x≤2，
故x的取值范围为（1，2]．

点评 本题考查了对数函数的单调性和对数函数的定义以及函数值的求法，属于基础题．