Question

9．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，则t的范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{2}^{a}+t）=\frac{a}{2}}\\{lo{g}_{2}（{2}^{b}+t）=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}+t={2}^{\frac{a}{2}}}\\{{2}^{b}+t={2}^{\frac{b}{2}}}\end{array}\right.$，
∴方程${2}^{x}-{2}^{\frac{x}{2}}$+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-4t＞0}\\{t＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜t＜$\frac{1}{4}$，
∴满足条件t的范围是（0，$\frac{1}{4}$）．
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．