Question

如图，己知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）
（1）求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC：
（2）若λ=

1

2

，求三棱锥A-BEF的体积．

Answer 1

分析：（1）要证不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC，只需证CD⊥平面ABC，在△BCD中，根据∠BCD=90°得证．
（2）根据V_{三棱锥A-BEF}=V_{三棱锥F-ABE}，得出体积即可．

解答：（1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，
所以，CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）
所以，不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC：
（2）解：在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，所以，BD=

2

，
又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BC，AB⊥BD，
又在Rt△ABC中，∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=

6

由（1）知EF⊥平面ABE，∴V_{三棱锥A-BEF}=V_{三棱锥F-ABE}
=

1

3

S△ABE •EF= 

1

6

×

1

2

×1 ×

6

×

1

2

=

6

24

所以，三棱锥A-BCD的体积是：

6

24

点评：本题考查考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．