Question

17．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤10\\ x+2y≤14\\ x+y≥6\end{array}\right.$，则xy的最大值为（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{49}{2}$
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图
由图象知y≤10-2x，
则xy≤x（10-2x）=2x（5-x））≤2（$\frac{x+5-x}{2}$）²=$\frac{25}{2}$，
当且仅当x=$\frac{5}{2}$，y=5时，取等号，
经检验（$\frac{5}{2}$，5）在可行域内，
故xy的最大值为$\frac{25}{2}$，
法2：设z=xy，则y=$\frac{z}{x}$为双曲线，
要使z=xy最大，则z＞0，
∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，
∴2x+$\frac{z}{x}$=10
即2x²-10x+z=0，
由判别式△=100-8z=0，得x=$\frac{100}{8}$=$\frac{25}{2}$，
即xy的最大值为$\frac{25}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．