Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y=2x²上的两点，直线l是AB的垂直平分线．
（理）当直线l的斜率为

1

2

时，则直线l在y轴上截距的取值范围是

（

5

4

，+∞）

（文）当且仅当x₁+x₂取

0

值时，直线l过抛物线的焦点F．

Answer 1

分析：（理科）设直线l的方程为 y=

1

2

x+b，设AB的方程为y=-2x+c，c＞0，把把AB的方程代入抛物线y=2x²化简可得2x²+2x-c=0，利用根与系数的关系及中点公式求得线段AB的中点M的坐标，把M的坐标代入直线l的方程可得c=b-

5

4

＞0，解得b的范围．
（文）由抛物线y=2x²，得出其焦点．下面分类讨论：（1）直线l的斜率不存在时，（2）直线l的斜率存在时，分别求解当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F即可；

解答：解：当直线l的斜率为

1

2

时，则直线AB的斜率为-2
设直线l的方程为 y=

1

2

x+b，AB的方程为y=-2x+c，c＞0
把AB的方程 y=-2x+c代入抛物线y=2x²化简可得 2x²+2x-c=0，
∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-2（x₁+x₂）+2c=2+2c
故线段AB的中点 M（-

1

2

，1+c ），由题意知，点 M（-

1

2

，1+c ）在直线l上，
∴1+c=

1

2

（-

1

2

）+b，∴c=b-

5

4

＞0，
∴b＞

5

4

，
故直线l在y轴上截距的取值范围是 (

5

4

，+∞)．
（理）∵抛物线y=2x²，即x2=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦点为F(0，

1

8

)
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁+x₂=0
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b
由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

⇒

2x 2 1 + 2x 2 2 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 2 1 - 2x 2 2 x1-x2 =- 1 k

⇒

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

⇒

x

2 1

+

x

2 2

=-

1

4

+b≥0⇒b≥

1

4

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0，

1

8

)
所以当且仅当x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F
故答案为(

5

4

，+∞)，0

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、转化思想．属于中档题．