Question

平面上有4个点，没有三点共线的情况，证明：以每3个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

Answer 1

【答案】分析：假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记四个点为A、B、C、D，考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况，利用与已知定理矛盾，从而假设不成立．
解答：证明：假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记四个点为A、B、C、D，考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况．
（1）如果点D在△ABC之内，由假设知围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°相矛盾．
（2）如果点D在△ABC之外，由假设知∠A、∠B、∠C、∠D都小于90°，这与四边形的内角和为360°相矛盾．
综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立．
点评：本题以平面图形为载体，考查反证法，需注意反证法的步骤，矛盾的导出是关键．