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    定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=2，且an+1=2an2+2an，其中n为正整数．
    （1）设bn=2an+1，证明：数列{bn}是“平方递推数列”，且数列{lgbn}为等比数列；
    （2）设（1）中“平方递推数列”{bn}的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
    （3）记cn=
    log
    Tn
    2an+1
    ，求数列{cn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞2008的n的最小值．
    分析：（1）依据“平方递推数列”定义，结合条件an+1=2an2+2an，可证数列{bn}是“平方递推数列”，进而有lgbn+1=2lgbn．从而可证数列{lgbn}为等比数列；
    （2）由（1）可得an=
    1
    2
    （52n-1-1），对Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1）两边取对数，可求得Tn=52n-1．
    （3）cn=2-(
    1
    2
    )    n-1    ，Sn=2n-2+2(
    1
    2
    )    n    ．要使Sn＞2008，则有n+(
    1
    2
    )    n    ＞1005，从而可求n的最小值．
    解答：解：（1）由条件an+1=2an2+2an，得2an+1+1=4an2+4an+1=（2an+1）2．
    ∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn+1=2lgbn．∵lg（2a1+1）=lg5≠0，∴
    lg(2an+1+1)
    lg(2an+1)
    =2．
    ∴{lg（2an+1）}为等比数列．
    （2）∵lg（2a1+1）=lg5，∴lg（2an+1）=2n-1?lg5，∴2an+1=52n-1，∴an=
    1
    2
    （52n-1-1）．
    ∵lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=
    (1-2n)lg5
    1-2
    =（2n-1）lg5．
    ∴Tn=52n-1．
    （3）cn=
    lgTn
    lg(2an+1)
    =
    (2n-1)lg5
    2n-1lg5
    =
    2n-1
    2n-1
    =2-(
    1
    2
    )    n-1    ，
    ∴Sn=2n-[1+
    1
    2
    +(
    1
    2
    )    2    ++(
    1
    2
    )    n-1    ]=2n-
    1-(
    1
    2
    )    n
    1-
    1
    2
    =2n-2[1-(
    1
    2
    )    n    ]=2n-2+2(
    1
    2
    )    n    ．
    由Sn＞2008得2n-2+2(
    1
    2
    )    n    ＞2008，n+(
    1
    2
    )    n    ＞1005，
    当n≤1004时，n+(
    1
    2
    )    n    ＜1005，当n≥1005时，n+(
    1
    2
    )    n    ＞1005，∴n的最小值为1005．
    点评：本题考查新定义，将数列放到新情境中，关键是正确理解题意，挖掘问题的本质与隐含．
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    （1）证明：数列{2an+1}是“平方数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
    （2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式．
    （3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞4020的n的最小值．

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    A
    2
    n
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    （1）证明数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列；
    （2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；
    （3）记bn=log2an+1Tn，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞2008的n的最小值．

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    （1）判断数列{an+2}是否为“平方递推数列”？说明理由．
    （2）证明数列{lg（an+2）}为等比数列，并求数列{an}的通项．
    （3）设Tn=（2+a1）（2+a2）…（2+an），求Tn关于n的表达式．

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