Question

【题目】已知函数满足，对于任意，且.令.

（1）求函数解析式；

（2）探求函数在区间上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当或时，函数在上有一个零点，当时，函数在上没有零点.

【解析】

试题分析：（1）由，得，由可知，以及任意，可得，综合求得；（2）是一分段函数，先讨论对称轴和与绝对值零点的大小，再在每种情况下讨论绝对值零点和区间端点的大小关系进行分类讨论.

试题解析：（1）由，得，由可知， 所以，又对于任意，，即都成立， 所以，，，

所以.

（2）,

若，，其对称轴为，当，即时，函数在上为增函数； 当，即时，函数在上为减函数， 在上为增函数；若，其对称轴为，此时， 所以函数在上为减函数， 在上为增函数， 且，所以函数在上有一个零点；当时 ，，没有零点；当时，函数在上为增函数， 在上为减函数，且，若，即时，函数在上没有零点， 若，即时， 函数在上有一个零点.综上得， 当或时函数

在上有一个零点；当时，函数在上没有零点.