Question

已知函数f （x+1）是奇函数，f （x-1）是偶函数，且f （0）=2，则f （2012）=（　　）

A．-2

B．0

C．2

D．3

Answer 1

分析：先根据函数f（x+1）为奇函数得到f（x+1）=-f（-x+1）；再结合函数f（x-1）是偶函数得到f（x-1）=f（-x-1），联立可求函数的周期，然后把所求的f（2012）转化可求即可得到答案．

解答：解：因为函数f（x+1）为奇函数
所以有：f（x+1）=-f（-x+1）
令t=x+1可得f（t）=-f（2-t）
∵函数f（x-1）是偶函数
∴f（x-1）=f（-x-1），令x-1=t，则可得，f（t）=f（-t-2）
∴f（-t-2）=-f（-t+2）
令-t-2=m，则f（m）=-f（m+4），f（m+8）=f（m）即函数以8为周期的周期函数
∴f（2012）=f（4）=-f（0）=-2
故选A

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．解决问题的关键在于根据函数f（x+1）为奇函数得到f（x+1）=-f（-x+1）；再结合函数f（x-1）是偶函数得到f（x-1）=f（-x-1）求解出函数的周期