Question

【题目】已知二次函数（为常数）满足条件，且方程有两个相等的实数根.

(1)求函数的解析式；

(2)是否存在实数使函数的定义域和值域分别为和？如果存在，求出的值;如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，,详见解析

【解析】

（1）由题意可得，再有有两个相等的实数根，即可求出，

（2）假设存在实数、满足题意，配方可得，进而可得函数在区间上单调递增，则有，，解之即可。

（1）二次函数（为常数）满足条件，

所以，即，所以，

又因为有两个相等的实数根，即有两个相等的实根

即有两个相等的实根，

所以，即

所以函数的解析式为

（2）假设存在实数、，使函数的定义域和值域分别为和，

由（1）可知 ，故，即，

又函数的对称轴为，抛物线的开口向下，

故在区间上单调递增，

则有，，即为方程的实根，

解得或，结合可得，

故存在符合题意。