Question

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A(-1，0)、B(1，0)，且．

(1)求点C的轨迹E的方程；

(2)是否存在直线z，使Z过点(0，1)并与曲线E交于P、Q两点，且满足OP⊥OQ?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：(1)设C(x，y)，则G()，其中x·y≠0．

设外心M(0，m)，而GM∥AB，

即()∥(2，0)，则m=．

由|MA|=|MC|，得

，

整理得轨迹E的方程是3x²+y²=3(xy≠0)．

(2)假设存在直线l满足题设条件，由题设知l的方程

为y=kx+1，代入3x²+y²=3，

化简得(k²+3)x²+2kx-2=0，

则△=4k²+8(k²+3)＞0．

设P(x₁，kx₁+1)，Q(x₂，kx₂+1)

∴x₁+x₂=                                                              ①

x₁x₂=                                                                 ②

由OP⊥OQ，即=0，得

(kx₁+1)(kx₂+1)+x₁x₂=0

即(k²+1)x₁x₂+k(x₁+x₂)+1=0．

结合①②得3k²=1，则k=±，

故存在直线l：y=±x+1，使得OP⊥OQ．