Question

如图，已知ABCD为矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）右图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；
（2）求三棱锥C-DED₁的体积；
（3）求证：平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer 1

分析：（1）由已知中的几何体俯视图，我们可得正视图和侧视图的观察方向，根据长对正，高平齐，宽相等的原则易得到该几何体的正视图和侧视图；
（2）由（1）中的三视图，我们可以判断出几何的底面和高，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案；
（3）由已知中D₁D⊥平面ABCD，由线面垂直的性质可得ACE⊥DD₁，又由AD=DD₁=1，AB=2，点E是AB的中点．可得CE⊥DE，进而由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面D₁ED，再由面面垂直的判定定理即可得到平面DED₁⊥平面D₁EC．

解答：解：（1）该几何体的正视图和侧视图如图示：
（准确反映三视图的图形特征）-------（4分）
（2）∵D₁D⊥平面ABCD
∴VC-DED1=VD1-DEC=

1

3

•S△DEC•DD1（6分）
而S△DEC=

1

2

S平行四边形ABCD=

1

2

×2×1=1
∴VC-DED1=

1

3

×1×1=

1

3

---------------（7分）
（3）∵E为AB的中点，
∴△DAE与△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，------（10分）
又∵D₁D⊥平面ABCD，EC?平面ABCD
∴CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D
∴CE⊥平面D₁ED-----------------（12分）
∵EC?平面D₁EC
∴平面DED₁⊥平面D₁EC----------------------------（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，简单空间图形的三视图，棱锥的体积，其中（1）的关键三视图中长对正，高平齐，宽相等的原则，（2）的关键是求出底面面积和高．（3）的关键是证得CE⊥平面D₁ED．