Question

20．如图，是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=6，AB=AC=4，AB⊥AC，点E，F分别是AB₁，CC₁动点，$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{F{B}_{1}}$，$\overrightarrow{CE}$=μ$\overrightarrow{E{C}_{1}}$．则当V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-EFB}$=4时，必有（　　）

• A． λ=$\frac{1}{3}$
• B． μ=$\frac{1}{3}$
• C． λ=3
• D． μ=3

Answer 1

分析 由余弦定理求出cos∠AB₁B，再由同角三角函数关系式求出sin∠AB₁B，由V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-EFB}$=，求出${S}_{△{B}_{1}FB}$=3，从而由正弦定理求出B₁F，进而得到AF，由此能求出λ的值．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=6，AB=AC=4，AB⊥AC，
∴$A{B}_{1}=\sqrt{16+36}$=2$\sqrt{13}$，cos∠AB₁B=$\frac{52+36-16}{2×2\sqrt{13}×6}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
∴sin∠AB₁B=$\sqrt{1-（\frac{3}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
∵V${\;}_{三棱锥{B}_{1}-EFB}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}FB}$×4=4，∴${S}_{△{B}_{1}FB}$=3，
∴$\frac{1}{2}×6×{B}_{1}F×\frac{2}{\sqrt{13}}$=3，解得B₁F=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，∴AF=2$\sqrt{13}$-$\frac{\sqrt{13}}{2}$=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
∴$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{F{B}_{1}}$，
∵点E，F分别是CC₁，AB₁动点，$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{F{B}_{1}}$，$\overrightarrow{CE}=μ\overrightarrow{E{C}_{1}}$．
∴λ=3．
故选：C．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系式、立体几何等知识点的合理运用．