Question

设数列｛a_n｝的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，n=1，2，3，…，其中A，B为常数，
(Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明数列｛a_n｝为等差数列；
(Ⅲ)证明不等式对任何正整数m、n都成立。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，得，
由知，
解得A=-20，B=-8；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，， ①
所以， ②
②-①，得， ③
所以， ④
④-③，得，
因为，
所以，
又因为5n+2≠0，
所以，
又，
所以数列{a_n}为等差数列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
要证，
因为，
故只要证，
即只要证，
因为=20m+20n-37，
所以命题得证。