Question

过抛物线y²=2x的对称轴上的定点M（m，0），（m＞0），作直线AB交抛物线于A，B两点．
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若△OAB的面积的最小值为4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）设l_AB：x=ty+m代入y²=2x得y²-2ty-2m=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）从而可得，y₁y₂=-2m
（2）由于S△OAB=S△OAM+S△OBM=

1

2

m|y1|+

1

2

m|y2|=

m

2

|y1-y2|ll=

m

2

(y1+y2)2-4y1y2

，结合方程的根与系数的关系及二次函数的性质可求m

解答：解：（1）设l_AB：x=ty+m代入y²=2x得y²-2ty-2m=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
△=4t²+8m＞0，y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2m
∵m为常数∴y₁•y₂=-2m为定值
（2）S△OAB=S△OAM+S△OBM=

1

2

m|y1|+

1

2

m|y2|=

m

2

|y1-y2|=

m

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

m

2

4t2+8m

≥

m

2

8m

=4
∴

m

2

8m

=4⇒m=2

点评：本题主要考查了直线与曲线位置关系的应用，常联立方程组转化为方程的根与系数的关系，而弦长公式|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

的应用是解决本题的关键