Question

如图所示,在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,P为DD₁的中点,O₁、O₂、O₃分别是面A₁B₁C₁D₁、面BB₁C₁C、面ABCD的中心.

(1)求证:B₁O₃⊥PA;

(2)求异面直线PO₃与O₁O₂所成角的余弦值;

(3)求PO₂的长.

Answer 1

(1)证明:以D为坐标原点,DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz,则B₁(1,1,1)、O₃(,0)、P(0,0,)、A(1,0,0),

=(-,-,-1),=(1,0,-),

所以

即.

所以B₁O₃⊥PA.

(2)解:因为O₁()、O₂(,1,),

则

又因为

所以cos〈〉=

所以异面直线PO₃与O₁O₂所成角的余弦值为.

(3)解:因为P(0,0,),O₂(,1,),所以