Question

已知f（x）=（m²+m）xm2-2m-1，当m取什么值时，
（1）f（x）是正比例函数；
（2）f（x）是反比例函数；
（3）在第一象限内它的图象是上升的曲线．

Answer 1

考点：幂函数的性质,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据正比例函数的定义，列出方程组

m2-2m-1=1 m2+m≠0

，求出解即可；
（2）根据反比例函数的定义，列出方程组

m2-2m-1=-1 m2+m≠0

，求出解即可；
（3）根据f（x）在第一象限内的图象是上升的曲线，得出不等式组

m2-2m-1＞0 m2+m＞0

或

m2-2m-1＜0 m2+m＜0

，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=（m²+m）xm2-2m-1，
∴

m2-2m-1=1 m2+m≠0

，
解得

m=1± 3 m≠0且m≠-1

，
即m=1±

3

；
∴当m=1±

3

时，f（x）是正比例函数；
（2）根据题意，得；

m2-2m-1=-1 m2+m≠0

，
解得

m=0或m=2 m≠0且m≠-1

．
即m=2，
∴当m=2时，f（x）是反比例函数；
（3）根据题意，得；

m2-2m-1＞0 m2+m＞0

或

m2-2m-1＜0 m2+m＜0

，
解得

m＞1+ 2 或m＜1- 2 m＞0或m＜-1

或

1- 2 ＜m＜1+ 2 -1＜m＜0

；
即m＞1+

2

，或m＜-1，或1-

2

＜m＜0；
∴当m∈（-∞，-1）∪（1-

2

，0）（1+

2

，+∞）时，f（x）在第一象限内的图象是上升的曲线．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了方程与不等式组的解法与应用问题，是综合性题目．