Question

9．已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（$\frac{1}{{2}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{3}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{4}^{2}}$+1）+…+ln（$\frac{1}{{n}^{2}}$+1）＜$\frac{2}{3}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对f（x）求导，再分a＞0，a＜0两种情况，写出函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数g（x）求导得g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，根据g（x）在区间（a，3）上有最值，得到g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，从而得到g′（0）=-1，$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，另由对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，分离参数即可求得实数m的取值范围；
（Ⅲ）由f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得当x＞0时f（x）＜f（1），即有lnx＜x-1对一切x＞0成立，即有ln（1+x）＜x对一切x＞0成立，由n≥2，n∈N，则有ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，再由$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$，运用裂项相消求和以及不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；
（Ⅱ）g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]=x³+（$\frac{m}{2}$+a）x²-x，
∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g（x）在区间（a，3）上总不是单调函数，
又g′（0）=-1，$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，
由题意知：对任意a∈[1，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，
∴m＜$\frac{1-5{a}^{2}}{a}$，a∈[1，2]，∴m＜-$\frac{19}{2}$，
对任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-$\frac{32}{3}$
∴-$\frac{32}{3}$＜m＜-$\frac{19}{2}$．
（Ⅲ）证明：令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）上单调递减，
∴当x＞0时f（x）＜f（1），
即有lnx＜x-1对一切x＞0成立，则ln（1+x）＜x对一切x＞0成立，
由n≥2，n∈N，则有ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有ln（$\frac{1}{{2}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{3}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{4}^{2}}$+1）+…+ln（$\frac{1}{{n}^{2}}$+1）＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$\frac{1}{{2}^{2}-\frac{1}{4}}$+$\frac{1}{{3}^{2}-\frac{1}{4}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=（$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{5}$）+（$\frac{2}{5}$-$\frac{2}{7}$）+…+（$\frac{2}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$）
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{2n+1}$＜$\frac{2}{3}$．

点评 此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（II）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．最后一问，注意运用函数的单调性和裂项相消求和，属于难题．