【题目】已知离心率为的椭圆的左顶点为,左焦点为,及点,且、、成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点,记,线段上的点满足,试求(为坐标原点)面积的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由题意可得出关于、的方程组,可求出、的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程;
(2)解法一:设点、、,将点、的坐标代入椭圆的方程,变形后相减可得,再由、,经过向量的坐标运算求得,由点在椭圆内得到,再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围;
解法二:设点、、,由、,根据向量的坐标运算得出,设直线的方程为,与椭圆的方程联立,由得出的取值范围,由代入韦达定理并消去,得出,进而得出,再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围;
解法三:设直线的方程为,与椭圆的方程联立,由得出的取值范围,并列出韦达定理,利用向量的线性运算可得出,并求出原点到直线的距离,利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.
(1)依题意,解得,,
所以椭圆的方程是;
(2)解法一:
设、、,则,
相减得:,
又由,知,,
由,知,,
代入式得:,即,
又因为点在椭圆内,所以,
所以的面积;
解法二:设,,,则,,
设直线的方程为,代入椭圆的方程得:
,由得,.
所以,消去得到,
所以,
因此的面积;
解法三:设直线的方程为,代入椭圆的方程得:
,由得,.
所以,,
,
原点到直线的距离,
所以的面积,
因为,所以.
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【题目】某小商品生产厂家计划每天生产型、型、型三种小商品共100个,生产一个型小商品需5分钟,生产一个型小商品需7分钟,生产一个型小商品需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个型小商品可获利润8元,生产一个型小商品可获利润9元,生产一个型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大,则最大日利润是__________元.
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【题目】已知正项数列,满足:对任意正整数,都有,,成等差数列,,,成等比数列,且,.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,的通项公式;
(Ⅲ)设=++…+,如果对任意的正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为,,设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求△OMN的面积.
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【题目】已知曲线的参数方程为,直线:,直线:.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线交于,两点,直线与曲线交于,两点,求的面积
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