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【题目】已知离心率为的椭圆的左顶点为,左焦点为,及点,且成等比数列.

1)求椭圆的方程;

2)斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于两点,记,线段上的点满足,试求为坐标原点)面积的取值范围.

【答案】1;(2

【解析】

1)由题意可得出关于的方程组,可求出的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程;

2)解法一:设点,将点的坐标代入椭圆的方程,变形后相减可得,再由,经过向量的坐标运算求得,由点在椭圆内得到,再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围;

解法二:设点,由,根据向量的坐标运算得出,设直线的方程为,与椭圆的方程联立,由得出的取值范围,由代入韦达定理并消去,得出,进而得出,再由三角形的面积公式可求得面积的取值范围;

解法三:设直线的方程为,与椭圆的方程联立,由得出的取值范围,并列出韦达定理,利用向量的线性运算可得出,并求出原点到直线的距离,利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围.

1)依题意,解得

所以椭圆的方程是

2)解法一:

,则

相减得:

又由,知

,知

代入式得:,即

又因为点在椭圆内,所以

所以的面积

解法二:设,则

设直线的方程为,代入椭圆的方程得:

,由

所以,消去得到

所以

因此的面积

解法三:设直线的方程为,代入椭圆的方程得:

,由

所以

原点到直线的距离

所以的面积

因为,所以

练习册系列答案
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