Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos

A

2

=

2 5

5

，S△ABC=2．
（1）求

AB

•

AC

；
（2）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由cos

A

2

=

2 5

5

，求出A的正弦值，再由面积的值求出bc的值，代入数量积公式进行求解；
（2）根据（1）求出的式子和题意，求出边b和c的值，利用余弦定理求出边a的值．

解答：解：（1）∵cos

A

2

=

2 5

5

∴cosA=2（

2 5

5

）²-1=

3

5

∵A是三角形的内角
∴sinA=

4

5

∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×

4

5

=2
∴bc=5
∴

AB

•

AC

=cbcosA=

3

5

bc=3
（2）由（1）知，bc=5，又∵b+c=6，
∴

b=5 c=1

或

b=1 c=5

由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=20
∴a=2

5

．

点评：本题是有关三角的综合题，考查了同角三角函数的关系，面积公式，余弦定理的应用等，难度不大，也是高考常考的题型．